เส้นขนาน

 

เส้นขนาน
นิยาม เส้นตรงสองเส้นที่บนระนาบเดียวกันขนานกันเมื่อเส้นทั้งสองนี้ไม่ตัดกัน
หลักการง่ายที่ใช้พิจารณาว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือไม่
1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ
เส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศา
2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น
ตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน
ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นขนานและมุมแย้ง
1 . ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน
2 . เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ถ้ามุมแย้งที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะ
ขนานกัน
รูปสามเหลี่ยมและเส้นขนาน
คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
1. ขนาดของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใดๆรวมกันได้ 180 องศา
2. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไปมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผล
บวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประกอบของมุมภายนอกนั้น
3. ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันสองคู่และมีด้านที่อยู่ตรงข้ามกันมุมที่ม
ีขนาดเท่ากันยาวเท่ากันคู่หนึ่งแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้จะเท่ากันทุกประการ
สามเหลี่ยมสองรูปที่เกล่าวมีความสัมพันธ์แบบมุม-มุม-ด้าน(ม.ม.ด.)
4. สามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์แบบมุม-มุม-ด้านด้วย

คุณสมบัติของอัตราส่วน

คุณสมบัติของอัตราส่วน

1. a : b = c : d เมื่อ ad = bc
2. a : b = c : d เมื่อ
3. a : b = c : d เมื่อ
4. a : b = c : d เมื่อ
5. a : b = c : d เมื่อ
6. a : b = c : d เมื่อb : a = d : c
7. a : b และ b : c จะได้ a : b : c

คุณสมบัติของอัตราส่วน

คุณสมบัติของอัตราส่วน

1. a : b = c : d เมื่อ ad = bc
2. a : b = c : d เมื่อ
3. a : b = c : d เมื่อ
4. a : b = c : d เมื่อ
5. a : b = c : d เมื่อ
6. a : b = c : d เมื่อb : a = d : c
7. a : b และ b : c จะได้ a : b : c

พหุนาม

พหุนาม

เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง
แต่สองเอกนามขึ้นไป
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวที่a 0 และ x เป็นตัวแปร
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
x2+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และ
บวกกันได้ b
ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น
de = c
d + e = b
ฉะนั้น x2 + bx + c = x2 + (d + e)x + de
= ( x2 + dx ) + ( ex + de )
= ( x + d )x + ( x + d )e
= ( x + d ) ( x + e )
ดังนั้น x2 + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )
ตัวอย่าง
(6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)
= 6×2 – 5x + 6x – 5
= 6×2 + (5x+6x) – 5
= 6×2 -5x +6x -5
= 6×2 + x – 5
จากตัวอย่างข้างต้น อาจแสดงวิธีหาพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้
1. (6x – 5)(x + 1)
= 6×2
– พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หน้าของพหุนามของผลลัพธ์
2. (6x – 5)(x + 1)
= -5
-พจน์หลังของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หลังของพหุนามของผลลัพธ์
3. (6x – 5)(x + 1)
= 6x + (-5x )
– พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง + พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง
พจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x2 + 2ax + a2 = ( x + a )2
x2 – 2ax + a2 = ( x – a )2
รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a2 +2ab + b2 และ a2 -2ab +b2 เมื่อ a และ b เป็นพหุนาม แยกตัวประกอบได้ดังนี้
สูตร a2 +2ab + b2 = ( a + b )2
a2 -2ab +b2 = (a-b)2
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง
พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x2 – a2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า ผลต่างของกำลังสอง
จาก x2 – a2 สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x2 – a2 = ( x + a ) ( x – a )
สูตร x2 – a2 = ( x + a ) (x-a)
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x2 + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุปได้คือ
1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x2 + 2px +c หรือ x2 -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก
2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลังสองของ p บวกเข้าและลบออกดังนี้
x2 + 2px +c = ( x2 + 2px + p2 ) – p2 + c
= ( x + p)2 – ( p2 – c )
x2 – 2px + c = ( x2 – 2px + p2 ) – p2 + c
= ( x – p)2 – ( p2 – c )
3. ถ้า p2 – c = d2 เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้
x2 + 2px + c = ( x + p)2 – d2
x2 – 2px + c = ( x – p)2 – d2
4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )2 – d2 หรือ ( x – p )2 – d2 โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลังสอง
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
พหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 และ A3 – B3 ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
สูตร A3 + B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2)
A3 – B3 = ( A – B )( A2 +AB + B2)

สถิติ

สถิติ

ในเรื่องสถิตินี้ประกอบไปด้วย
1.ตารางแจกแจงความถี่ จะประกอบด้วย
1. อันตรภาคชั้น คือ ช่วงของตัวเลขที่แบ่งเป็นชั้นๆในตารางแจกแจงความถี่
2. ข้อมูลดิบ คือ ข้อมูลที่ได้มาจากแหล่งข้อมูลโดยตรง
3. ความถี่ คือ จำนวนของข้อมูลดิบในแต่ละช่วงของอันตรภาคชั้น
ความรู้ในการสร้างตารางแจกแจงความถี่
1. ในการสร้างตารางแจกแจงความถี่ จำนวนอันตรภาคชั้นที่นิยมใช้กันคือ 5 ถึง 15 อันตรภาคชั้นตามความมากน้อยของข้อมูล
2. ในการสร้างตารางแจกแจงความถี่ ความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกชั้น
3. ในกรณีที่มีคะแนนดิบเป็นจำนวนมากๆ ถ้าค่าที่น้อยที่สุดและค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นเป็นค่าที่สังเกตได้ง่าย การบันทึกกร่อยคะแนนจะสะดวกขึ้น
2.ขอบล่าง = ค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้น + ค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้น/2
3.ขอบบน = ค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้น + ค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น/2
4. ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ขอบล่าง – ขอบบน
5. จุดกึ่งกลางชั้น=
หรือ จุดกึ่งกลางชั้น = ค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้น + ค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้น/2
6. ค่ากลางของข้อมูล
ค่ากลางของข้อมูล คือ ค่าที่สามารถนำมาแทนข้อมูลกลุ่มนั้นๆ เพื่อที่จะใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลนั้นๆได้
ค่ากลางของข้อมูล สามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ชนิดใหญ่ๆ ได้แก่
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ได้จากการหารผลบวกของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูล
2. ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลนั้น
3. มัธยมฐาน คือ ค่าที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมดซึ่งเมื่อเรียงข้อมูลชุดนั้นจากน้อยไปมาก หรือจากมาไปน้อยแล้ว ข้อมูลที่มากกว่าค่านั้น

สูตรการหาระบบจำนวนเต็ม

ระบบจำนวน
การหา ห.ร.ม.
1.วิธีการแยกตัวประกอบ
(1) แยกตัวประกอบของแต่ละจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
(2) เลือกเอาตัวประกอบที่ซ้ำกันของแต่ละจำนวนมา 1 ตัว แล้วคูณกันเป็น ห.ร.ม.
2. วิธีการตั้งหารสั้น
(1) นำตัวเลขที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาตั้งหารสั้นโดยหาตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะมาหารและสามารถหารจำนวนทุกตัวที่หา ห.ร.ม. ลงตัวได้ทั้งหมด
(2) นำตัวหารที่ได้มาคูณเป็น ห.ร.ม. ทั้งหมด
การหา ค.ร.น.
1. วิธีการแยกตัวประกอบ
(1) แยกตัวประกอบของแต่ละจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
(2) เลือกเอาตัวประกอบที่ซ้ำกันของแต่ละจำนวนมา 1 ตัว พร้อมทั้งหาตัวที่ไม่ซ้ำกันลงมาด้วยและนำมาคูณกันเป็น ค.ร.น.
2. วิธีการตั้งหารสั้น
(1) นำตัวเลขที่ต้องการหา ค.ร.น. มาตั้งหารสั้นโดยหาตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะมาหารและสามารถหารได้ลงตัวอย่างน้อย 2 ตัว หรือหากจำนวนใดที่ไม่สามารถหารลงตัวก็ให้ดึงตัวเลขนั้นลงมาแล้วหารจนหารต่อไปไม่ได้
(2) นำตัวหารที่ได้มาคูณกันเป็น ค.ร.น. ทั้งหมด
ความสัมพันธ์ของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
(1) ให้ a, b เป็นเลข 2 จำนวน โดย c เป็น ห.ร.ม. และ d เป็น ค.ร.น. ของ a,b ก็จะได้ว่า a x b =
c x d
(2) ห.ร.ม. ของเศษส่วน=

(3) ค.ร.น. ของเศษส่วน =

การตรวจสอบการหารแบบลงตัวในบางจำนวน
1. จำนวนที่ 2 หารลงตัวจะเป็นจำนวนที่มีหลักหน่วยเป็นเลขคู่ซึ่งจะรวม 0 ด้วย
2. จำนวนที่ 3 หารลงตัวจะเป็นจำนวนที่นำแต่ละหลักของเลขจำนวนนั้นมาบวกเข้าด้อยกันทุกหลัก เมื่อผลบวกออกมาเป็นตัวเลขที่ 3 สามารถหารได้ลงตัวซึ่งนั่นคือจำนวนที่ 3 สามารถหารได้ลงตัว แต่ถ้าผลบวกออกมาเป็นตัวเลขที่ 3 ไม่สามารถหารได้ลงตัวก็คือจำนวนนั้นสามารถที่จะนำ 3 มาหารได้ลงตัว
3. จำนวนที่ 5 หารลงตัว ซึ่งจะมีเพียงจำนวนที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 5, 0 เท่านั้น
คุณสมบัติของ 0, 1
1. a + 0 = 0 + a = a
2. a x 0 = 0 x a = 0
3. a x 1 = 1 x a = a
4. a 0 จะไม่มีค่า เมื่อ a 0
โดยกำหนดให้ a แทนจำนวนใดๆ
คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก, การคูณ
1. a + b = b + a
2. a x b = b x a
โดยกำหนดให้ a, b = จำนวนใดๆ
คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก, การคูณ
1. (a + b) + c = a + (b + c)
2. (b + c) x c = a x (b x c)
โดยกำหนด a, b, c = จำนวนใดๆ
คุณสมบัติการแจกแจง
1. a x (b +c) = (a x b) + (a x c)
2. (b + c) x a = (b x a) + (c x a)
โดยกำหนดให้ a, b, c = จำนวนใดๆ
ข้อสังเกตในการบวกและคูณจำนวนเลขคู่และเลขคี่
1. จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคู่
2. จำนวนคี่ + จำนวนคี่ = จำนวนคู่
3. จำนวนคี่ + จำนวนคู่ = จำนวนคี่
4. จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคี่
5. จำนวนคู่ x จำนวนคู่ = จำนวนคู่
6. จำนวนคี่ x จำนวนคี่ = จำนวนคี่
7. จำนวนคี่ x จำนวนคู่ = จำนวนคู่
8. จำนวนคู่ x จำนวนคี่ = จำนวนคู่
การหาผลบวกของจำนวนเต็ม
1. การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ
จะได้ (-) + (-) = (-)
2. การหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็ม
จะได้
2.1 ถ้า |(+)| > |(-)| (+) + (-)
= |(+)| – |(-)| = (+)
2.2 ถ้า |(+)| < |(-)| (+) +(-)
= |(+)| – |(-)| = (-)
การหาผลลบของจำนวนเต็ม
สูตร = ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
หมายเหตุ จำนวนตรงข้ามของ a เขียนด้วย –a
จำนวนตรงข้ามของ –a เขียนแทนด้วย –(-a)
การหาผลคูณของจำนวนเต็ม
1. การผลคูณของจำนวนเต็มบวก
จะได้ (+) x (+) = (+)
2. การผลคูณของจำนวนเต็มลบ
จะได้ (-) x (-) = (+)
3.การผลคูณของจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ
จะได้ (+) x (-) = (-)
4.การหาผลคูณของจำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวก
จะได้ (-) x (+) = (-)
การหาผลหารของจำนวนเต็ม
สูตร ตัวตั้ง ตัวหาร
1. การผลหารของจำนวนเต็มบวก
(+) (+) = (+)
2. การหาผลหารของจำนวนเต็มลบ
(-) (-) = (+)
3. การผลหารระหว่างจำนวนต็มบวกและจำนวนเต็มลบ
(+) (-) = (-)
4. การหาผลหารระหว่างจำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวก
(+) (-) = (-)
คุณสมบัติของจำนวนจริง
1. คุณสมบัติปิดของการบวก
a + b เป็นจำนวนจริง
2. คุณสมบัติของการคูณ
a x b เป็นจำนวนจริง
3. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก
(a + b) + c = a + (b + c)
4. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการคูณ
(a +b) x c = a x (b x c)
5. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก
a + b = b + a
6. คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ
a x b = b x a
7. เอกลักษณ์การบวก
เอกลักษณ์ของการบวก คือ 0
0 + a = a = a + 0
8. เอกลักษณ์การคูณ
เอกลักษณ์ของการคูณ คือ 1
1 x a = a = a x 1
9. อินเวอร์สการบวก
อินเวอร์สการบวกของ a ได้แก่ –a
(-a) + a = 0 = a + (-a)
10. อินเวอร์สการคูณ
อินเวอร์สของการคูณของของ a คือ [a 0] x a = 1 = a x
11. คุณสมบัติการแจกแจง
a x ( b+ c) = (a x b) + (a x c)

รวมสูตรคณิตศาสตร์
วงกลม =22/7 (พาย)xเส้นผ่านศูนย์กลาง
รูปว่าว = 1/2 x ผลคูนของเส้นทะเเยงมุม
=5เหลี่ยมสูตรการหาพื้นที่คือ รูทเศษ 3ส่วนสี่ คูนด้านยกกำลังสองคูน 5
=6เหลี่ยมก็จะเป็นรูทเศษ 3ส่วนสี่ คูนด้านยกกำลังสองคูน 6 แต่ทั้งสองรูปนั้นต้องเป็น 5หรือ 6เหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้นน่ะครับ
สามเหลี่ยม =1/2xฐานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้างxยาว
พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้านxด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 0.5xผลคูนของเส้นทแยงมุม
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 0.5xผลบวกของด้านคู่ขนานxสูง
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือ ใดๆ = 0.5xเส้นทแยงมุมxผลบวกของเส้นกิ่ง
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = 0.5xผลคูลของเส้นทแยงมุม
พื้นที่วงกลม = 3.14x รัศมีกำลังสอง
ปริมาตรทรงกรวย = 1/3xพื้นที่ฐานxสูง
ปริมาตรทรงกลม = 4/3 พาย R^3
พื้นที่วงแหวน = (R-r)^2พาย
สี่เหลี่ยมใดๆ = 1/2xผลคูณเส้นทแยงมุม
สามเหลี่ยมใดๆ = 1/2xฐานxสูง
ปริมาตรทรงปริซึม = พื้นที่ฐานxสูง
พีระมิด = (1/3) x พื้นที่ฐาน x สูงx ด้านกำลัง2
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = เส้นทแยงมุม/2xผลคูณเส้นกิ่ง
พื้นที่วงกลม = พายr ยกกำลัง2
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2xผลบวกด้านคู่ขนานคูณสูง
3 เหลี่ยมด้านเท่า = รูท 3/4xด้านกำลัง 2
3 เหลี่ยมหน้าจั่ว = ฐาน/4xรูท4*ด้านประกอบมุมยอดกำลัง 2 – ฐานกำลัง2
3 เหลี่ยมมุมฉาก = 1/2xผลคุณของด้านประกอบมุมฉาก
วงกลม = พายrกำลัง2 หรือ 1/4 พายdกำลัง2 เมื่อ r คือรัศมี d คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

4/3 x pi x r3 คือปริมาตรทรงกลม ไม่ใช่พื้นที่
4 x pi x r2 คือพื้นที่ผิวทรงกลม

สูตรการหาปริมาตร

ปริมาตรปริซึม
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง